Метод конечных элементов в инженерных расчётах

Идея метода

Многие процессы в окружающем мире и, в частности, инженерно-технические объекты описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение таких уравнений сложно, поэтому для нахождения их решения используют численные методы. Одним из таких инструментов и является метод конечных элементов.

Типовая инженерная задача в МКЭ начинается с подготовки модели — аналога реальной строительной конструкции, технологического изделия, детали механизма и т. п. Геометрия исходной конструкции аппроксимируется наложенной на неё сеткой, с которой ведётся вся дальнейшая работа. Количество узлов и элементов сетки заранее известно — оно может быть очень велико, но в любом случае оно конечно. Вот почему саму сетку часто называют конечно-элементной.

Затем область, в которой ищется решение системы дифференциальных уравнений МКЭ, разделяется на подобласти (элементы) и для каждого элемента выбирается аппроксимирующая функция произвольного вида. Обычно это полином первой степени, при этом вне элемента выбранная функция равна нулю, а на границах принимает значения, которые являются решением задачи. Коэффициенты полинома аппроксимирующей функции находят из условий равенства значений соседних функций в узлах.

Далее составляется система линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных равно числу степеней свободы системы (в общем случае, это шестикратное количество узлов сетки). 

Для поиска решения используется матричное исчисление. На собранные матрицы накладываются граничные условия, задаются нагрузки, которые моделируют воздействие внешних сил на конструкцию, после чего полученная система линейных алгебраических уравнений решается тем или иным методом.

Компьютерные программы, реализующие метод конечных элементов

В подавляющем большинстве, расчётные модули современного CAE-софта (англ. CAE — Computer-Aided Engineering) основаны на МКЭ.

CAE-системы неразрывно связаны с CAD-системами (Computer-Aided Design), поскольку оценка прочности или динамический анализ являются частью более общего цикла проектирования, конструирования изделия. Нередко они интегрированы друг в друга на уровне интерфейса пользователя. 

СAE-софт проверяет работоспособность изделия или конструкции без существенных затрат времени и средств на натурные испытания, так как программа на основе метода конечных элементов оценивает поведение компьютерной модели в условиях, близких к реальным.

Основные направления CAE:

• FEA (Finite Element Analysis) — анализ деформаций и напряжений деталей и сборок;

• CFD (Computer Fluid Dynamics) — вычислительная гидродинамика, анализ тепловых и жидкостных потоков;

• MBD (MultiBody Dynamics and Kinematics) — многомассовая твердотельная динамика, кинематика;

• Structural Optimization (оптимизация конструкций);

• инструменты анализа и симуляции технологических процессов литья, формования, штамповки и других.

Выбор того или иного инструмента зависит от набора факторов (например, учитывают круг решаемых задач, интерфейс, число пользователей, стоимость лицензии, наличие поддержки и многое другое). 

Вот некоторые программы, которые используются для расчётов методом конечных элементов:

• Abaqus;

• Ansys;

• Nastran;

• Siemens NX;

• SolidWorks Simulation;

• LS Dyna.

Выбирая программу для моделирования, воспользуйтесь следующими рекомендациями:

• исходите из задачи, которую вам предстоит решать, поинтересуйтесь, какие для этого средства имеются в том или ином CAE-пакете;

• изучите справочные материалы к программному обеспечению, уточните, что предлагает поддержка пользователя, есть ли какие-то учебные материалы, помогающие научиться работать с программой;

• с какой периодичностью выпускаются обновления и как ими воспользоваться;

• какие существуют плагины, надстройки и расширения для базовой версии программы, как она интегрируется с другими программами;

• существуют ли возможности импортировать и экспортировать модель, можно ли выгрузить отчёт в текстовом формате.

Перед приобретением лицензии опробуйте триальную версию программы для решения своих задач. Изучите обзоры, отзывы специалистов и комментарии других пользователей.